Az argentin származású zongoraművész 1941. június 5-én született Buenos Airesben. Eleinte zongoratanárnő édesanyja tanította. Nyolcéves korában debütált egy Mozart-zongoraversennyel. A család 1955-ben Európába költözött, Martha Argerich ezt követően Svájcban folytatta zenei tanulmányait Friedrich Guldánál, később Arthuro Benedetti Michelangeli és Stefan Askenase voltak tanárai. 1957-ben néhány héten belül két fontos versenyt is megnyert Genfben és Bolzanoban, és ezzel elindult zongoraművészi karrierje.
Az 1965-ös varsói Nemzetközi Chopin Versenyen egy csapásra meghódította a zenei világot. Ugyanebben az évben készítette első lemezfelvételét Chopin, Brahms, Ravel, Prokofjev és Liszt műveiből. Néhány évvel később Chopin 3. szonátáját és op. 53-as polonézét játszotta lemezre más, rövidebb művekkel együtt. Félelmetesen magas színvonalú technikáját Vladimir Horowitzéhoz hasonlították. Bár sokat kritizálják szélsőséges dinamikáiért és tempóiért, játékát szenvedélyes, egyéni hangvétel jellemzi.
Sokszor nyilatkozta, hogy szólistaként magányosnak érzi magát a színpadon, az 1980-as évektől kezdve ezért szívesebben ad elő zongoraversenyeket, de más hangszeres szólisták partnereként főként kamarazenét játszik, különböző szonátákban. Különösen 20. századi szerzők, mint például Messiaen vagy Prokofjev műveinek előadásában remekel, ezekből kiváló lemezfelvételeket is készített. Egyik legkiemelkedőbb felvételén Rahmanyinov 3. és Csajkovszkij 1. zongoraversenyét játssza. 1969-től 1973-ig Charles Dutoit karmester felesége volt, akivel azóta is rendszeresen dolgozik és koncertezik.
Évenként megrendezett fesztiváljain sok pályakezdő zongoristát támogat. Jelentős versenyeken gyakran vállal zsűrizést. Kétszer részesült Grammy-díjban: 2005-ben a „legjobb kamarazenei előadásért”, 2000-ben a „legjobb hangszeres szólista előadásért zenekari kísérettel”.
